/ BasicKnowledge

[MTH101] จำนวน

ที่ผ่านมาผมไม่ได้แยกหัวข้อทางด้านคณิตสาสตร์ออกจากโปรแกรมมิ่งอย่างชัดเจน จนบางครั้งผู้อ่านก็งงๆ ว่าสรุปนี่มันบล็อกโปรแกรมมิ่งหรือเปล่า วันนี้ผมถือโอกาสเปิดไลน์ใหม่เลยละกัน โดยใช้ชื่อว่า MTH101 เพื่อให้รู้ว่านี่มันเรื่องคณิตศาสตร์จริงๆ นะ ><


บล็อกแรกของเราจะเป็นเรื่องของจำนวนครับ จำนวนกับคณิตศาสตร์นั้นอยู่คู่กันมาแต่อดีตกาลแล้ว ด้วยความสวยงามของจำนวนทำให้นักคณิตศาสตร์นั้นพยายามแยกแยะจำนวนออกจากกัน เหมือนที่นักชีวะแยกสิ่งมีชีวิต นักเคมีแยกธาตุ นักฟิสสิกส์แยกอนุภาค อะไรแบบนั้น

Physics is the only real science. The rest are just stamp collecting.

-- Ernest Rutherford

รัทเทอร์ฟอร์ดเคยบอกไว้ว่ามีแค่ฟิสิกส์อย่างเดียวที่เป็นวิทยาศาสตร์ที่แท้จริง นอกนั้นก็แค่สะสมสแตมป์ แต่ปัจจุบันนี้สแตมป์นั้นมีค่าครับ เอาไว้แลกของวิเศษได้ >< ใครๆ ก็หันมาสะสมกันหมด แม้แต่นักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์เองก็ด้วย เกริ่นมาซะยาว เอาเป็นว่าวันนี้เราจะคุยกันเกี่ยวกับประเภทหลักๆ ของจำนวนกันครับ

จำนวน (Numbers)

จำนวนเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการนับ การวัด เป็นเครื่องหมายบ่งชี้ และอื่นๆ แต่เดินนั้นเรามีแค่จำนวนแบบง่ายๆ เช่น 1, 2, 3, ... แล้วก็มีลำดับ เช่น 1st, 2nd, 3rd, 4th, ... แล้วก็มีหมายเลขบ่งชี้ เช่น หมายเลขโทรศัทพ์ บ้านเลขที่ หลังจากนั้นเราก็มีการค้นพบจำนวนแบบแปลกๆ เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เดี๋ยวเราจะมาดูกันว่ามีประเภทไหนอะไรยังไงบ้าง

จำนวนนับ (Counting Numbers)

จำนวนนับ เป็นจำนวนชนิดแรกๆ ที่มนุษย์เรามีการนำมาใช้เพื่อนับสิ่งต่างๆ โดยการนับก็จะเรียงลำดบไปเรื่อยๆ ตั้งแต่ 1, 2, 3, 4, ... เช่น มีสุนับ 3 ตัว แมว 2 ตัว แกะ 1 ตัว อะไรแบบนี้

$\text{Counting Numbers} = \\{1, 2, 3, ...\\}$

จำนวนศูนย์ (Zero)

เมื่อมนุษย์เราใช้จำนวนนับไปเรื่อยๆ ก็เกิดปัญหาขึ้น ว่าถ้าไม่มีอะไรให้นับแล้ว จะเรียกว่ามีจำนวนเท่าไหร่ >< เช่น ตอนแรกมีสุขนัข 2 ตัว ตอนนี้ไม่มีแล้ว ไม่มีแมวตั้งแต่ต้นแล้ว จะบอกยังไง

อีกทั้งมนุษย์เรายังมีความต้องการที่จะใช้จำนวนที่มีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ พอหมดปุ๊บก็ไม่รู้จะนับต่อยังไง ถ้า 9 เป็นตัวเลขตัวสุดท้าย แล้วตัวต่อไปจะบอกว่าอะไร? นับ 1 ต่อเลยไหม? แล้ว 1 ใหม่กับ 1 เก่าต่างกันยังไง? ก็มีการใช้การเว้นวรรคเพื่อแทนจำนวนว่างๆ ก็พบว่าไม่ชัดเจนอีก สรุปทำไปทำมาก็เลยได้เลข 0 นี่แหละ

สรุปตอนนี้มนุษย์เรานับได้เกิน 9 แล้ว โดยเมื่อนับต่อจาก 9 จะไปเพิ่มเลขที่ตัวหน้า เปลี่ยนตัวหลังเป็น 0 แล้วต่อไปก็กลับมานับที่ตัวหลังของเดิมไปเรื่อยๆ หมดสองหลักก็ขึ้นหลักใหม่ต่อไปเรื่อยๆ ไม่มีจบ

จำนวนทั้งหมด (Whole Numbers)

Whole Numbers เป็นแค่ชื่อกลุ่มใหม่ที่เกิดจากการนำจำนวนนับ และจำนวนศูนย์ มารวมกันเป็นเซ็ตเดียว

$\text{Whole Numbers} = \\{0, 1, 2, 3, ...\\}$

จำนวนธรรมชาติ (Natural Numbers)

จริงๆ จำนวนธรรมชาติ ก็เป็นแค่ชื่อที่ใช้เรียกจำนวนนับ หรือจำนวนทั้งหมด เท่านั้น (จะมี 0 รวมอยู่ด้วยหรือไม่ก็แล้วแต่ context นั้นๆ)

$\mathbb{N} = \\{0, 1, 2, 3, ...\\}$

จำนวนลบ (Negative Numbers)

มีคำถามเกิดขึ้นในวงการคณิตศาสตร์ว่าเป็นไปได้ไหมถ้าเราจะนับสาวนทางกับของเดิม? ถ้านับถอยหลังเรื่อยๆ จนมาถึงศูนย์แล้วตัวต่อไปควรจะเป็นอะไร สุดท้ายเราก็ได้จำนวนที่มีเครื่องหมายลบนำหน้า เพื่อบอกว่าจำนวนนั้นตรงข้ามกับจำนวนปกติ

ในปัจจุบันมีการใช้จำนวนลบในชีวิตประจำวันกันอย่างกว้างขวางไม่ว่าจะเป็นเรื่องของการวัดอุณหภูมิ เรื่องของหนี้สิน หรือการขายสินค้าล่วงหน้า

*จำนวนลบในที่นี้หมายถึงจำนวนเต็มลบและจำนวนลบอื่นๆ

$\text{Negative Numbers} = (-\infty,0)$

จำนวนเต็ม (Integers)

จำนวนเต็มเป็นชื่อเซ็ตใหม่ที่เกิดจากการเอาจำนวนทั้งหมด และจำนวนเต็มลบมารวมไว้ด้วยกัน

$\mathbb{Z} = \\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\\}$

เศษส่วน (Fractions)

ความยากเริ่มบังเกิดเมื่อเรามีความต้องการที่จะแบ่งสิ่งเดิมๆ ที่เคยนับเป็นหนึ่ง ออกเป็นส่วนย่อย เช่น ส้มหนึ่งผลแบ่งเป็นสองส่วน แต่ละส่วนจะเรียกว่าเป็นจำนวนเท่าไหร่? สุดท้ายก็ได้วิธีบอกจำนวนแบบใหม่เป็นอัตราส่วนระหว่างของใหม่ กับจำนวนส่วนทั้งหมดที่รวมเป็น 1 ของเดิม เช่น ส้มหนึ่งผลแบ่งเป็นสองส่วน แต่ละส่วนถือว่ามีส้ม 1/2 ผล (1 ส่วนใหม่ / 2 ส่วนใหม่รวมเป็น 1 ผล)

จำนวนตรรกยะ (Rational Numbers)

จำนวนตรรกยะ คือจำนวนที่สามารถทำให้อยู่ในรูปของอัตราส่วน (Fractions) ได้ โดยทั้งเศษและส่วนนั้นจะต้องเป็นจำนวนเต็ม และส่วนจะต้องไม่เป็นศูนย์ (การหารด้วย 0 ยังไม่ถูกนิยามไว้)

1.5 เป็นจำนวนตรรกยะเพราะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนเป็น 3/2 ซึ่งทั้ง 3 และ 2 ต่างก็เป็นจำนวนเต็ม และ 2 ไม่เท่ากัน 0 

จำนวนเต็มทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจากสามารถเขียนให้อยู่ในรูป z/1 ได้ โดย z คือจำนวนเต็มใดๆ

$\mathbb{Q} = \\{p / q | p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\\}$

จำนวนอตรรกยะ (Irrational Numbers)

เมื่อจำนวนตรรกยะเป็นจำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของอัตราส่วนระหว่างจำนวนเต็มได้ มันก็น่าจะมีจำนวนอีกกลุ่มหนึ่งที่เขียนไม่ได้ เราเลยเรียกมันว่า จำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะที่สำคัญได้แก่ π ที่มีค่าประมาณ 3.141592653589793238462...

ตอนเรียนครูมักจะบอกว่าจำนวนอตรรกยะคือจำนวนที่อยู่ในรูปทศนิยมไม่สิ้นสุดและไม่ซ้ำ

จำนวนจริง (Real Numbers)

เช่นเคย จำนวนจริง เป็นแค่ชื่อใหม่ที่ใช้เรียกจำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะรวมกัน ดังนั้นจำนวนจริงจะครอบคลุมทุกจำนวนที่เราคุยกันมาก่อนหน้านี้

$\mathbb{R} = \\{x | x \in \mathbb{Q} \cup \bar{\mathbb{Q}}\\}$

จำนวนจินตภาพ (Imaginary Numbers)

มนุษย์เราไม่ยอมหยุดอยู่แค่จำนวนจริงครับ มีคนตั้งสมมติฐานถึงจำนวนไม่จริง เป็นจำนวนในจินตนาการ โดยบอกว่าเมื่อเรานำจำนวนใดๆ ก็ตามมายกกำลังสองแล้ว ผลลัพธ์ย่อมเป็นบวกเสมอ เว้นแต่ว่าจำนวนนั้นๆ ไม่ใช่จำนวนจริง ค่าที่เป็นไปได้ว่าจะไม่ใช่จำนวนจริงก็คือรากที่สองของจำนวนจริงลบ นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ต่อต้านทฤษฎีนี้มาก มันจะเป็นไปได้ไงว่ามีจำนวนไม่จริงด้วย สุดท้ายเมื่อมีการตีพิมพ์ถึงเรื่องจำนวนไม่จริงนี้เรื่อยๆ มันก็ค่อยๆ ได้รับการยอมรับในชื่อ จำนวนจิตภาพ ซึ่งมีค่าเท่ากับรากที่สองของ -1 และเขียนแทนจำนวนนั้นด้วยสัญลักษณ์ i ตัวเล็ก

ปัจจุบันจำนวนจินตภาพถูกใช้อย่างแพร่หลายในเรื่องเกี่ยวกับไฟฟ้า และอิเล็กทรอนิกส์

$i = \sqrt{-1}$

จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

จำนวนเชิงซ้อน เป็นผลรวมของจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพซึ่งจะทำให้เราได้ผลลัพธ์ในรูป a + bi เมื่อ a และ b คือจำนวนจริง สวน i คือจำนวนจินตภาพ โดยเราจะเรียก a ว่าส่วนจริง และเรียก b ว่าส่วนจินตภาพ

จำนวนทุกจำนวนที่กล่าวมานั้นสามารถเขียนให้อยู่ในรูปจำนวนเชิงซ้อนได้ โดยเติม 0 ในส่วนจริงหรือส่วนจินตภาพที่ขาดไป

$\mathbb{C} = \\{a+bi | a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\\}$

จากประเภทของจำนวนข้างต้นเราสามารถนำมาเขียนเป็นแผนภาพเวนน์ (Venn diagram) ได้ดังนี้

Numbers

ภาพจาก [winstonbarber.blogspot.com](http://winstonbarber.blogspot.com/2012/03/our-numbers-system-candidate-for.html)

References

The Evolution of Numbers - MATHisFUN

Number - Wikipedia